Ja solche varianten gibt es. Für DVB-C gibt es von Digital devices und von Fritz solche geräte DVB 2 IP. Allerdings kann ich dir nicht sagen wie das mit dem fire TV funktioniert. Desweiteren kann man das direkt nur mit dem IPTV simple addon ansprechen bei dem es keine Aufnahmefunktion gibt oder EPG. Soweit jedenfalls mein Stand.
Anders ist es wenn du ein NAs nutzt und das als TV server einrichtest.
aber wie gesagt, ich glaube dass die Fire Tv box eh schwierigkeiten mit live tv hat