Moin @sualfred, Moin @Merlin.KIS, Moin alle anderen :-),
ich habe es hinbekommen, es ist eine Kombination der oben verlinkten Erklärungen.

Als ich über Putty "locale" eingegeben hatte, hat mir das System en_EN.UTF-8 ausgespuckt. Anscheinend ist die Consolenumgebung noch auf englisch gestellt gewesen und nicht auf de_DE.UTF-8.
Man braucht nichts herunterladen oder ähnliches (Synology "ab DSM 4.2" hat eigentlich alles an Board, es muss nur umgestellt werden).
Mann muss die Sprache in der Profile Datei auf der Synology setzen bzw. verändern.
(Bin einfach mit WinSCP auf die Datei gegangen und habe sie mit dem Editor bearbeitet "natürlich als root angemeldet- sonst kommt man nicht zu dieser Datei").
Pfad der Datei:
Vorher:
LANG=en_EN.UTF-8
LC_ALL=en_EN.UTF-8
Nachher:
LANG=de_DE.UTF-8
LC_ALL=de_DE.UTF-8
export LANG LC_ALL
Speichern, Diskstation neustarten.
Anschließend wirft die Console mit "locale" folgendes aus:
root@DiskStation:~# locale
LANG=de_DE.UTF-8
LC_CTYPE="de_DE.UTF-8"
LC_NUMERIC="de_DE.UTF-8"
LC_TIME="de_DE.UTF-8"
LC_COLLATE="de_DE.UTF-8"
LC_MONETARY="de_DE.UTF-8"
LC_MESSAGES="de_DE.UTF-8"
LC_PAPER="de_DE.UTF-8"
LC_NAME="de_DE.UTF-8"
LC_ADDRESS="de_DE.UTF-8"
LC_TELEPHONE="de_DE.UTF-8"
LC_MEASUREMENT="de_DE.UTF-8"
LC_IDENTIFICATION="de_DE.UTF-8"
LC_ALL=de_DE.UTF-8
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Anschließend musste ich aber noch zusätzlich "Export LANG=de_DE.UTF-8" in deinem Skript global setzen. Dort habe ich es platziert, die Zeile könntest du @sualfred also fest einbauen, dann funktioniert es auch für Synology Benutzer vom Werk aus 
#!/bin/bash
#################################
# Config #
#################################
export LANG=de_DE.UTF-8
#Search this paths (required)
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Achso die "DL" Zeile habe ich in deinem Skript nun ohne Zusatz:
DL=$(youtube-dl -f mp4 "https://www.youtube.com/watch?v=$ID" -o "$DIR/$FILENAME-trailer.%(ext)s")
DANKE FÜR DEINE MÜHE UND SENSATIONELLE HILFE!
Danke auch dafür das du dich sogar in Synology ein wenig reingedacht bzw. belesen hast.
Viele Grüße
Seger